【人教版】中学数学中学1年上巻：天秤の秘密：等式の基本性質

等式はまるで数学世界の精密な天秤です。方程式を解く過程は、本質的に「バランスを保つ」という芸術です。私たちの目標はとても明確です：正当な手段を通じて、もつれ合った代数式を少しずつ簡略化し、最終的に天秤の一方の端にはたった一つの未知数 $x$ だけが残り、もう一方の端にはその真の値が現れるようにすることです。

等式の二大基本性質

バランスを崩さずに方程式を変形するには、二つの核心的な法則に従う必要があります：

性質 1（平行移動保存）： 等式の両辺に同じ数（または式）を加えても（または減らしても）、結果は等しいままです。これは天秤の両端に同時に同じ重さの分銅を増減させるようなもので、余分な定数項を「消去」するのによく使われます。
性質 2（比例保存）： 等式の両辺に同じ数を掛けても、0でない同じ数で割っても、結果は等しいままです。これは未知数の係数を調整して、純粋な 1 に戻すために使われます。

覚えておこう：方程式を解くとは、方程式を少しずつ $x = a$ の形に変形することです。性質 1 は加減を、性質 2 は乗除を担当し、目標は常に $x$ の正体を明らかにすることです！

核心公式：$a=b$ ならば $a \pm c = b \pm c$；$a=b$ ならば $ac = bc$ かつ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq 0)$。

QUESTION 1

等式の性質を利用して方程式 $x - 5 = 6$ を解くとき、最初のステップとして最も適切な操作は：

等式の両辺から5を引く

等式の両辺に5を加える

等式の両辺に5を掛ける

等式の両辺を6で割る

QUESTION 2

等式の性質を利用して方程式 $0.3x = 45$ を解くと、$x$ の値は：

$13.5$

$15$

$150$

$1500$

QUESTION 3

方程式 $5x + 4 = 0$ を解くには、どのように操作すべきですか？

両辺から4を引いてから5で割る

両辺に4を加えてから5で割る

両辺を5で割ってから4を引く

両辺に5を掛けてから4を引く

QUESTION 4

等式の性質を利用して方程式 $2 - \f\frac{1}{4}x = 3$ を解くと、得られる解は：

$x = 4$

$x = -4$

$x = 20$

$x = -20$

QUESTION 5

「$a$ より 5 大きい数は 8 に等しい」を等式で表すと：

$a - 5 = 8$

$5a = 8$

$a + 5 = 8$

$a + 8 = 5$

QUESTION 6

「$b$ の 3分の1は 9 に等しい」を等式で表すと：

$\f\frac{1}{3}b = 9$

$3b = 9$

$b + \f\frac{1}{3} = 9$

$b - 3 = 9$

QUESTION 7

「$x$ の 2 倍と 10 の和は 18 に等しい」を等式で表すと：

$2x - 10 = 18$

$x^2 + 10 = 18$

$2x + 10 = 18$

$2(x + 10) = 18$

QUESTION 8

「$x$ の 3分の1から $y$ を引いた差は 6 に等しい」を等式で表すと：

$\f\frac{1}{3}x - y = 6$

$\f\frac{1}{3}(x - y) = 6$

$3x - y = 6$

$x - \f\frac{1}{3}y = 6$

QUESTION 9

植樹問題：1人10本植えると6本多く、1人12本植えると6本足りません。人数を $x$ とすると、苗木の総量が等しいことに基づいて立てる方程式は：

$10x - 6 = 12x + 6$

$10x + 6 = 12x - 6$

$\f\frac{x}{10} + 6 = \f\frac{x}{12} - 6$

$10(x + 6) = 12(x - 6)$

QUESTION 10

登山問題：張華の速度は $10$m/min で先に 30min 出発し、李明の速度は $15$m/min です。2人が同時に山頂に到達したとき、李明の所要時間を $t$ min とすると、方程式は：

$15t = 10(t - 30)$

$15t = 10(t + 30)$

$15(t + 30) = 10t$

$\f\frac{t}{15} = \f\frac{t + 30}{10}$